conducine lo studio in modo da tracciane l'andamento grafico. Verifica che la retta x=1 è asse di simmetria di questo grafico. Determina l'area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione, dall'asse x e dalle rette x=1/2 e x=3/2.
Per lo studio dell'andamento grafico:
C.E.: x ¹ 0, x ¹ 2.
y>0: dove x(x–2)>0, cioè per valori esterni all'intervallo [0,2].
Asintoti: Visto il C.E. possono esservene di verticali:
e quindi x=0 e x=2 sono asintoti verticali;
poi
e quindi y=0 è un asintoto orizzontale.
Pendenza, max, min o flessi orizz.
quindi
y'>0: =====0======1______2______
y : / / \ \
max.rel.
Ha dunque 1 come punto di massimo relativo e y(1)=–1 come valore di massimo relativo;
Concavità e flessi obl.
Il numeratore è sempre positivo perché il trinomio ha Δ>0 ed è positivo
ad esempio per x=0. Il segno della derivata seconda, che non si annulla mai,
è quindi quello della funzione stessa
y''>0: ======0________2=======
y : È Ç È
e non vi sono flessi.
In figura è mostrato un disegno del grafico della
funzione ottenuto con una calcolatrice.
Come si vede x=1 è asse di simmetria. Per una prova
analitica si può ad esempio traslare il grafico di –1
lungo l'asse x e vedere che la funzione così ottenuta,
y=f(x+1), è pari.
Ciò risulta evidente.
L'area richiesta, senz'altro negativa perché al
di sotto dell'asse x, si ottiene calcolando
Iniziamo calcolando le primitive
Poiché
occorrerà che A+B=0 e –2A=1, perciò
L'area richiesta sarà quindi:
pagina di Roberto Ricci
L.S. "A. Righi", Bologna.
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